مفارقات زينون الايلي

تقديم

قدم زينون الأيلي مفارقته الشهيرة في مجموعتين : الأولى ضد الكثرة و الثانية ضد الحركة -- و هي الأكثر أهمية – سأتكلم في مقبل الصفحات عن مفارقته حول الحركة .

يقدم زينون مفارقته في امتناع الحركة في أربعة مفارقات أساسية : 1مفارقة أخيل و السلحفاة .2 مفارقة القسمة الثنائية.3 مفارقة السهم 4. مفارقة الملعب .

يمكن أن نلخص هذه المفارقات في مجموعتين أساسيتين:

1 مفارقة حول اللا تناهي "المفارقة 1و2"

2 مفارقة تفترض أن المكان و الزمان كامتدادنا مؤلفان من عناصر لا منقسمة ." المفارقة 3و4"

1 مفارقات اللاتناهي

1-1 مفارقة أخيل و السلحفاة

تعد مؤلفات أرسطو هي دليلنا الوحيد لمعرفة مفارقة الحركة عند زينون الأيلي , يقول أرسطو في كتابه حول الفزياء(1) ,ناقلا عن زينون الايلي في مفارقته الشهيرة : إن أسرع عدائين أثينا لن يستطيع اللاحق بأشد الأشياء بطئا في الحركة , إذا كان هذا الشيء سابقا له بمسافة .فإذا تصورنا أخيل و هو أسرع عداء في اليونان القديمة, و أن هناك سلحفاة تسبقه بمسافة ما.

فإذا بدأ الاثنان الحركة معا في لحظة واحدة، فان أخيل لن يستطيع اللاحق أبدآ بالسلحفاة , ذلك أنه كي يلحق بها, يجب أن يقطع الفواصل الزمنية التي تفصله عنها , و هكذا كلما اقترب منها إلا و سبقته . إذن أخيل لن يلحق بالسلحفاة, لان المسافة الفاصلة بينها تحتوي على عدد لا نهائي.



س(س)=0 س(أ)=0

1__15/16___7/8______3/4_________1/2____________________.

( ن)

1 مسار أخيل بالنسبة إلى السلحفاة سيكون على هدا الشكل 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/ 16..............1-1/2

إذن أخيل لن يلحق بالسلحفاة.

أدعي في هده اللحظة, انه من المستحيل دراسة مفارقة اللا تناهي عند زينون , بالاعتماد فقط على مفارقة أخيل و السلحفاة , بل انه من الضروري دراسة مفارقة القسمة الثنائية كي نفهم مشكل اللا تناهي عند زينون .مفارقة أخيل و القسمة الثنائية ترتبطان بشكل حدسي في ذهن زينون .

2-1 مفارقة القسمة الثنائية

يمكن أن نعبر عن هده المفارقة في شكلين : أحدهما تقدمي progressive , و أخر تراجعي Rogressive .

1-2-1 مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التقدمي

ترتبط مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التقدمي بمفارقة أخيل و السلحفاة, فحسب هدا الشكل فان أخيل لا يمكنه أن يصل إلى نهاية أي حلبة سوء مع السلحفاة أو مع غيرها.بل و لن يصل إلى نقطة بدايتها أصلا ’ فقبل أن يصل أخيل إلى نهاية هده المسافة يجب أن يقطع نصف المسافة, وقبل أن يقطع النصف يجب عليه أن يقطع نصف النصف... (ن)

يمكن أن نعبر عنها بالمتتالية السابقة 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/ 16..............1-1/2 العلاقة (1)

2-2-1 مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التراجعي

مفاد هذا الشكل من المفارقة, أن العداء لكي ينطلق من نقطة أ نحو نقطة ب يجب أنت يقطع نصفها, و قبل أن يقطع النصف يجب أن يقطع نصف النصف... إذن العداء لن ينطلق أصلا

يمكن أن نعبر عن هده المفارقة بالشكل التالي أ__1/16__1/8____1/4________1/2________________ب.

او بالمتتالية التالية (ن)

1/2. 1/4 . 1/8 . 1/16. 1/32 ..........................................................1/2 العلاقة (2)

بما أنه ليس لهذه المتتالية طرف أول فلن يكون لعداء بداية أصل.

2 حل مفارقة اللا تناهي في الرياضيات الحديثة "نموذج أوغسطين كوشي 1779-1857 "

إن المفارقة التي واجهها زينون هي أن العداء لا يستطيع أن يقطع عدد لا متناهي من الفواصل المكانية و الزمنية غير الصفرية , و تكمن الصعوبة المنطقية في هذا الإطار في عدم وجود نهاية لمتسلسلة الفواصل الكسرية الناتجة عن القسمة بين الصفر و الواحد , تقترب هذه القيم من الواحد في مفارقة أخيل و القسمة الثنائية في شكلها التقدمي . ومن الصفر في مفارقة القسمة الثنائية في شكلها التراجعي .

1- 2 الحل الذي قدمه كوشي

مما لا شك فيه أن مفارقة زينون خلفت ورائها العديد من ردود الأفعال الفلسفية و الرياضية , غير أن معظم هده الردود كانت تحتاج في غالبها إلى التصورات المنطقية الدقيقة مثل : مجال الحساب التحليلي اللانهائي في الصغر مثل الدوال الرياضية و الاتصال و النهايات و المتتاليات و التفاضل .

إن الإشكالية التي واجهها كوشي في هذا الإطار هو اصطدامه بمفهوم النهاية و علاقته باللانهاية . لقد حل كوشي مفارقة اللا تناهي عند زينون بالاعتماد على مجموعة من العلاقة التجريدية و التي تقوم بالأساس على حسابي التكامل و التفاضل و الاتصال ,تصور كوشي مفهوم النهاية على أنه تتالي لانهائي لمجموعة مرتبة من الحدود تتناظر بعلاقة الواحد بالواحد مع مجموعة من الأعداد الطبيعية .(2)



تكون المتتالية متقاربة اذا كانت تقبل نهاية مثل :

1= (lim f(x

X__x0



نأخذ المتتالية رقم (1) نطبق عليها قاعدة النهاية.

n) n)

نفترض أن f(n) =1-1/2 1/2 .3/4 . 7/8 . 15/



نحاول البحث عن نهاية الدالة f(n) بحيث n يؤول n إلى +∞

(n) (+∞)

1-1/2 =1-1/2 =1 = Lim f(n)

n +∞ (n)

لأن 0= lim 1/2

+∞ n (n)

تم نأخذ المتتالية رقم 2 ونقوم بنفس الأمر 1/2. 1/4. 1/8. 1/16......1/2 (+∞) (n)

Lim f(n) =1/2=1/2=1/2

+∞ n

(n)

لأن 0= lim 1/2 = 0

+∞ n

لكن كيف أمكننا الانتقال من 1 إلى 2

يعتقد كوشي أن هدا الاعتراض مقبولة فالانتقال من 1الى يمر عبر جمع الحدود بعضها الى بعض . للتوضيح سأخذ المتتالية رقم 1 ,و أوضح الأمر . نعرف هده المتتالية باعتبارها متتالية ذات حدود لا متناهية

(n)



1/2+1/4+1/8+1/16+.....1/2

نأخد v1; v2; v3 . بحيث

.......... V1=v0+v1, V2=v1+v2, V3=v1+v2+v3 لأن Vn=Vn-1+Vn+Vn+1

من حدود لا متناهية نستنتج أن أنه آدا كانت للمتتالية v1+v2+v3……..vn نهاية فأن المتتالية اللا متناهية تصبح متقاربة convergence (3) و لعل هذا ما بيناه من خلال العلاقتين 1 و 2

أي مهما يكن



V1=1/2

V2=1/2+1/4=3/4

V3=1/2+1/4+1/8=7/8

V4=1/2+1/4+1/8+1/16=15/16.

استنتاجات

1 عندما تكون النتيجة 1 كما في الحالة الأولى فأخيل سيصل إلى السلحفاة في النهاية

(n) (+∞)

1-1/2 =1-1/2 =1 = Lim f(n)

n +∞ 2 عندما تكون النتيجة 0 كما في الحالة الثانية فأخيل لن يتحرك من مكانه كما في الحالة الثانية

وفق المعادلة التالية (+∞) (n)

Lim f(n) =1/2=1/2=1/2

+∞ n

0=



الإحالة

) علي سامي النشار و آخرون (1970) : ديموقريطس, فيلسوف الذرة و أثره في الفكر الفلسفي حتى عصورنا الحديثة , الهيئة المصرية العامة للكتاب , الإسكندرية . ص 318

(2)Salmon, W., “ A contemporary look at Zeno’s paradoxes ”, in Peter Van Inwagen & Deam W. Zimmerman (eds.),“ Metaphysics : The big questions ”, Inwagen & Deam W. Zimmerman (eds.),“ Metaphysics : The big questions ”, Blackwell publishers Inc., Malden, Massachusetts, 1998, P. 133.

Ibid p p(133_169)(3

2004: The Dialectic of Constancy and Motion Zeno's Paradoxes: a Contemporary Mathematical View, The Journal of the Faculty of Arts, Minufiya University, 66, July 2004, pp. 99 – 139, in Arabic


__________________________________________________________


مصطفى قشوح فاس ( المغرب) 05-07-2009.

شكرا على هذا العرض الجديد والمختلف عن عرض سابق كنت قد اطلعت عليه للاخ نبيل حاجي نائف..
غير اني اتساءل: الايعني ذلك ان الرياضيات هي اسقاط فلسفي تجريدي على ارض الواقع اكثر من انها الواقع نفسه؟
بمعنى اخر نحن نحتاج الى الارقام للتعامل معهم في بناء نموذج ذهني، في حين ان الواقع ليس مبني من ارقام ولايهمه ان يكون هناك واحد قابل التقسيم او لا، من حيث ان الانتقال كحركة فيزيائية لاتتشكل من ارقام.
الامر يصبح حيويا عند الاشارة الى ان القانون ليس هو الواقع الفيزيائي وانما تصوراتنا عنه، وهذا امر يجد البعض صعوبة في تفهمه..

خالص الود وسعيد بمواضيعك القيمة التي اتابعها بشغف

بمعنى اخر نحن نحتاج الى الارقام للتعامل معهم في بناء نموذج ذهني، في حين ان الواقع ليس مبني من ارقام ولايهمه ان يكون هناك واحد قابل التقسيم او لا، من حيث ان الانتقال كحركة فيزيائية لاتتشكل من ارقام.
الامر يصبح حيويا عند الاشارة الى ان القانون ليس هو الواقع الفيزيائي وانما تصوراتنا عنه، وهذا امر يجد البعض صعوبة في تفهمه..

هذا دقيق جداً

هذا النوع من الفلسفة يتسم بنوع من "الاستخفاف" بالواقع، لكن رغم ذلك يبقى رائعاً...

المزميل مصطفى، لدي سؤال حول اخيل والسلحفاة،

لماذا تم التعامل مع السرعة بصورة نسبية وليس وكأنها معامل ثابت، أي ان حركة العداء حركة حرة غير مرتبطة بحركة السلحفاة، فهو يقطع مسافة ثابتة في كل وحدة زمنية معينة، لكن حسب قانون زينون فان حركة العداء مرتبطة بحركة السلحفاة لأنه يقطع نصف المسافة بينهما فقط في الوحد الزمنية، فلنفرض ان بينهما 50 كم والعداء يقطع 25 كم/ساعة بينما تقطع السلحفة 1 كم/ساعة فان العداء سيصل اليها بعد ساعتين وبضع دقائق، فوتيرة تحركه لن تقل كلما قلت المسافة، لكن زينون افترض انه سيقطع في الساعة الثانية نصف المسافة اي 13 كم. فاين المنطق في ذلك؟

(05-13-2011, 01:54 PM)Dr.xXxXx كتب:  هذا النوع من الفلسفة يتسم بنوع من "الاستخفاف" بالواقع، لكن رغم ذلك يبقى رائعاً...

المزميل مصطفى، لدي سؤال حول اخيل والسلحفاة،

لماذا تم التعامل مع السرعة بصورة نسبية وليس وكأنها معامل ثابت، أي ان حركة العداء حركة حرة غير مرتبطة بحركة السلحفاة، فهو يقطع مسافة ثابتة في كل وحدة زمنية معينة، لكن حسب قانون زينون فان حركة العداء مرتبطة بحركة السلحفاة لأنه يقطع نصف المسافة بينهما فقط في الوحد الزمنية، فلنفرض ان بينهما 50 كم والعداء يقطع 25 كم/ساعة بينما تقطع السلحفة 1 كم/ساعة فان العداء سيصل اليها بعد ساعتين وبضع دقائق، فوتيرة تحركه لن تقل كلما قلت المسافة، لكن زينون افترض انه سيقطع في الساعة الثانية نصف المسافة اي 13 كم. فاين المنطق في ذلك؟

معضلة زينو تكمن في كيفية مطابقة المعادلة الرياضية التي هي حكماً ابدية —لأن المسافة من نقطة أ الى نقطة ب تمر بعدد لامتناهي من النقاط الوسطية— بالمسافة الفعلية الفيزيائية المتناهية اي المكان—؛ وهنا تقع المشكلة بأني اذا اردت ان انطلق من النقطة "ش" الى النقطة "ت" فلدي حلان اما ان اضع نقطة "س" تكون هي نهاية المسافة من "ش" الى "س" وبالتالي تصبح المسافة من "س" الى "ت" بلا بداية! او ان افعل العكس واضع النقطة "س" كبداية مسافتي من "س" الى "ت"، ولكن ايضاً لن استطيع ان اصل الى "س"، لأنني لن اتمكن من ان ابدأ!
لب الموضوع هو فهم مبدأ تعريفنا للبعد المكاني لكي نتمكن من حل المشكلة، وبعد ذلك يصبح بالإمكان مطابقة المكان الفيزيائي على المعادلة الرياضية المجردة.

شكراً استاذ كايروس.

(05-12-2011, 07:49 PM)طريف سردست كتب:  شكرا على هذا العرض الجديد والمختلف عن عرض سابق كنت قد اطلعت عليه للاخ نبيل حاجي نائف..
غير اني اتساءل: الايعني ذلك ان الرياضيات هي اسقاط فلسفي تجريدي على ارض الواقع اكثر من انها الواقع نفسه؟
بمعنى اخر نحن نحتاج الى الارقام للتعامل معهم في بناء نموذج ذهني، في حين ان الواقع ليس مبني من ارقام ولايهمه ان يكون هناك واحد قابل التقسيم او لا، من حيث ان الانتقال كحركة فيزيائية لاتتشكل من ارقام.
الامر يصبح حيويا عند الاشارة الى ان القانون ليس هو الواقع الفيزيائي وانما تصوراتنا عنه، وهذا امر يجد البعض صعوبة في تفهمه..

خالص الود وسعيد بمواضيعك القيمة التي اتابعها بشغف

تحية خالصة لكل الأخوة المتدخلون.

داخل ابستمولوجيا نمييز بين اتجهاين، هناك الاتجاه الوضعي في فلسفة العلوم و اتجاه أفلاطوني ، الاتجاه الوضعي هو الاتجاه الذي يمثله الفيزيائي و الفيلسوف ستيفن هوكنغ ويمثل الاتجاه الثاني الفيزيائي و الفيلسوف روجي بنروز ، حيث ان الاتجاه الأول الذي يمثله هوكنغ يؤكد على أن النماذج الرياضية تقدم لنا أدوات إجرائية تمكننا من فهم ووصف الواقع الفيزيائي دون أن تعبر هذه النماذج عن حقيقة الواقع ، إنها تعبر عن وعينا بهذا العالم دون التعبير عن حقيقة هذا الواقع .


اما الاتجاه الثاني فيؤكد على دور الرياضيات في إبداع الواقع الفيزيائي، و بواسطة الرياضيات نستطيع الوصول لحقيقة هذا الواجود وبناء عليه تقدم لنا الرياضيات نماذج دقيقة ، ويجوز أن نقول معها أن الواقع الفيزيائي، لا يعدو أن يكون نموذجا رياضيا خالصا ، هكذا نجد أن قيمة أي خطاب علمي تتجلى في الاتساق المنطقي و الصورنة الرياضياتية.


يبدو لي أن العلاقة التي تربط الواقع بالرياضيات هي علاقة انبتاقية، اي أن الواقع فيزيائي انبثق من النماذج الرياضية ، حيث تمنح الرياضيات نماذج دقيقة تمكننا من وصف و فهم الواقع الفيزيائي و في غياب الرياضيات لا نستطع صياغة أي خطاب علمية دقيق، هكذا تصبح الرياضيات هي الأداة الوحيدة التي تمكننا من تحصيل معرفة دقيقة بالواقع الفيزيائي.


عادة ما يقول البعض ان الرياضيات ما هي إلا اسقاطات فلسفية على الواقع الفيزيائي، ويفكر الكثيرين أن تعميمات فارغة يجب إلغؤها لفهم الواقع في بساطته.


أعتقد أن هذه المقاربة تتفق ربما مع الفيزياء الأرسطية و الفيزياء الكلاسيكية " إلى حدود نيوتن " والتي تجد في معطيات الحس المشترك الأدوات التي تمكننا من فهم الواقع الفيزيائي، وتنظر إلى الرياضيات كمنظم لمعطيات الحس ( نيوتن ، كانط،لابلاص) لكن عندما ننتقل إلى الفيزياء الكهروزمغناطيسية مثلا مع ماكسويل نجد ان الطريقة التي اعتمد عليه ماكسويل و هي طريقة رياضية ساعدت في اكتشاف و وصف الظاهرة الكهرومغناطيسية .

تحياتي الى الاستاذ نبيل حاجى نائف ولكل الزملاء على تلك الاطروحات