الرياضيات اليونانية

من المؤكد أن اليونان لم يبتكروا الرياضيات من عدم ، فلقد لعبت الأبحاث التي قام به المصرين والبابليين دور مهم في نشأة الرياضيات اليونانية –كعلم صارم قائم على استدلالات عقلية محضة – كما يذكر جورج سارتون في كتابه تاريخ العلم أن معظم المفكرين و خصوصا الرياضيين-من طاليس حتى إقليدس" منهم ذهبوا إلى البلاد المشرقية –مصر، بابل ، الصين ، الهند- كي يتعلموا الحكمة المشرقية ، لكن رغم علاقة التبني هذه إلا أن الرياضيات اليونانية أحدثت ما يمكن أن نسميه بالقطيعة ابستمولوجية مع الرياضيات المشرقية ، وذلك بنقلها موضوعية الكائن الرياضي من العالم المحسوس- le monde sensible- إلى العالم المعقول أو فوق-حسي -le monde intellectuel- .
أدى الانتقال السالف ظهور مفاهيم ومناهج جديدة لم تكن موجودة من قبيل ،التحليل و التركيب والتعميم و التجريد ، كما ساعد الفكر الرياضي على تطوير الفكر الميتافيزيقي ، ففي الغالب كانت تربط البحوث الرياضية بما هو ميتافيزيقي ، هذه الميتافيزيقية جعلت العقلي اليونانية غارقة في التجريد ، و يمثل أفلاطون أعلى مستوى-PLAFON - وصل إليه الفكر الميتافيزيقي- في ارتباطه بما هو رياضي- عند اليونان ، عالم المثل –عالم الأعداد و الكائنات الرياضية – مستقل عن العالم المحسوس، فالعدد كما عبر عنه فيثاغوراس هو تصور ذهني خالص كامل و غير مرتبط بالحس ، ونفس الأمر مع الهندسة، فالهندسة اليونانية كما سنرى مع إقليدس ، يجب أن تكون تصورات هندسية خالصة ؛ ماهية عقلية؛ففكرة المثلث و الدائرة و المربع هي أفكار عقلية خاصة كاملة في ذاتها .
يعتقد بوتروا في كتابه السالف الذكر – انظر الإحالة الجزء الأول- أن الهندسة اليونانية امتازت بميزات البساطة و التناغم و التنظيم ، يقول بوترو"إن أهم شيء كان يستهوي الرياضي اليوناني هي صفات ذاتية في مواضيع رياضية فالجمال يوجد في المثلث كفكرة و نفس الأمر يصدق على المربع و الدائرة.
بعد أن أشرت إلى أهم الأفكار التي تسيطر في الفكر الرياضي اليوناني سأتوقف مع بعض الرياضيين اليونان.

1 طاليس
في الحقيقة إن الحديث عن شخصية مثل شخصية طاليس هو أمر معقد جدا،هل نتكلم عن
شخصية الرياضي أم عن عالم الطبيعة، أم عن عالم الفلك...،لكن و بما أننا أمام موضوع خصص أصلا للرياضيات فإني سأقتصر على المقاربة الرياضيات لطاليس.
ارتبط اسم طاليس بالتأسيس الفعلي للرياضيات كعلم ، لأن طاليس أدخل مجموعة من المناهج العقلية في دراسة الموضوع الرياضي ، فلأول مرة سيتم تجاوز تأسيس الفكر الرياضي على ما هو حسي إلى ما هو تجريدي .ومن بين العوامل التي ساعدت على هذا الانتقال هو استبعاد التفسير الميتيولوجي من الظواهر الطبيعية و العمليات الرياضية .يرى طاليس أن الأشياء تصدر من أصل واحد –الماء- طبيعية أو رياضية فالهاجس الذي حرك طاليس هو محاولة تفسير أصل الشيء انطلاقا من طبيعة الشيء ، فلكي يفسر أصل الوجود لجئ إلى اسطقس طبيعي هو الماء ، و كي يفسر طبيعة الموضوع الرياضي لجأ مكونات هذا الكائن ، أي استعمال منهج التحليل هو معالجة الكائن الرياضي .
أما في مجال الهندسة فلقد استعمال مجموعة من المناهج المرتبطة بمجموعة من الاستدلالات العقلية .
و في هذا الإطار يمكن أن نشير إلى مبرهنة طاليس التي تنص :
في مثلث ABC متساوي الساقين، لدينا I منتصف القطعة ، و J منتصف القطعة . وجد طاليس أن هناك متساويات مركزية :
AI/AB=AJ/AC=IJ/BC
ما يهمنا في هذه المبرهنة هو طبيعة المناهج و المفاهيم الجديدة في الحقل الرياضي و ليس المبرهنة ككل .
إذا تأملنا هذه المبرهنة سنجد أن طاليس استخدم ما يسمى المنهج البرهاني ، أي انطلاقا من مقدمات يقينية-مسلمات مضمرة - ليصل في الأخير إلى نتائج يقينية ، و هذا ما كان ينقص الرياضيات المشرقية ، أقصد آليات الاستدلال .
بالإضافة إضفاء طابع الرمزية على الكائن الرياضي، المثلث يأخذ طابع رمزي و ليس له أي إحالة في الواقع إنه فكرة خالصة .
إن أهم ميزة ميزت مرحلة طاليس هو ظهور مناهج جديدة في التعامل مع الكائن الرياضي مثل الاستدلالات البرهانية .

2فيثاغوراس
.
ارتبط اسم فيثاغوراس- كلما سمعت اسم فيثاغوراس إلا و انتابني شعور غريب ، شعور بالعظمة و الغموض و القداسة ، لقد بدأت علاقتي فيثاغوراس في الإعدادي عندما اطلعت على مبرهنته الشهيرة حول المثلث القائم الزاوية- في العادة بقضيتين هما أولا التأسيس لعلم العدد و ثانيا تأسيس الديانة الفيثاغورثية – عرفت الديانة الفيثاغورثية باسم أخويات السرية لأنها كانت تمارس طقوس سرية ويحرم مطلقا على أعضاء الجماعة تسريب أي طقس من طقوس الجماعة – سأتطرق في هذا الموضوع لأعمال التي قام بها فيثاغوراس في مجال علم العدد فقط راجيا الحديث عن الديانة الفيثاغورثية في وقت لاحق.
ينطلق الفيثاغورثيين من حقيقية أساسية أن العدد هو أصل الكون ، كل ما في هذا الوجود عبارة عن عدد، فجوهر الأشياء الجامدة و الحية على هذا الكوكب هي عبارة عن اتفاق و انسجام المتضادات ، وهذا الانسجام محدد سلفا بواسطة نسب رياضية وعددية .
فالنفس و الجسد و باقي أشياء الوجود عبارة عن أعداد ، وكل ما في الكون من انسجام و تناغم وقوانين هو نتاج الأعداد ونسبها ، يجب هنا أن ننبها لمسألة في غاية الأهمية ،ففيثاغوراس و معه باقي الفيثاغورثيين يعتبرون أن الأعداد هي أفكار بالدرجة الأولى. كل الوجود يتكون من أفكار، و يرجع التنوع بين الأشياء إلى اختلاف النسب العددية من شيء لأخر.
بعد أن وضحت البعد السحري الذي يأخذه مفهوم العدد عند الفيثاغورثيين سأتوقف الآن عند مبرهنة فيثاغوراس كي أبين عبقرية فيثاغوراس - هذا إن كان فيثاغوراس فعلا هو صاحب المبرهنة ، و أنا لا أود أن أتكلم عن تلك الأطروحة التي تقول أن فيثاغوراس سرق المبرهنة المدونة باسمه من عند حكيم رياضي هندي - .

* مبرهنة فيثاغوراس
في مثلثABC قائم الزاوية في A يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين المحاديين ، أي BC²=AB²+AC²
مثلا إذا طول AB =3و AC=4 فإن طول BC =! حسب العلاقة السالفة الذكر
AB²+AC²=BC²
3² +4²=BC²
16+9=BC²
25=BC² إذن BC=5
من المؤكد أن هذه العلاقة أثبت جدارته بالنسبة للمثلث قائم الزاوية ، لكن المشكلة العويصة التي ستواجه فيثاغوراس هو عندما سيحاول تعميم هذه العلاقة على كل المثلثات ، أقصد هنا ظهور مشكلة الأعداد الصماء ، ظهرت قضية الأعداد الصماء جراء تطبيق علاقة فيثاغوراس على بعض المثلثات ، فعندما يكون طول الضلعين المحاذيين هو 1 فإننا نوجه ما يسمى بظهور أعداد غير طبيعية"غير عقلانية" ، أمر يتعلق هنا بالجذر مربع ل2
Ab+ac =bc
1²+1²=bc
2 =bc²
= Bcالجدر مربع ل 2
عندما أراد تطبيق مبرهنة المشهورة على بعض المثلثات وجد أنه في بعض الحالات لا يمكن قياس أضلاع المثلث بقياسات دقيقة ، لعل هذا هو الأمر الذي جعل الفكر الرياضي عاجزا أمام قضية جدر مربع ل 2 ، لكي يحل فيثاغوراس هذه المشكلة اضطر إلى إخفاء السر و دعا جماعته إلى نفس الأمر.



إحالة إضافية :l. thomson, les premiers philosophes , e.s paris , 1988


في انتظار تتمة الرياضيات اليونانية مع تحيات مصطفى قشوح فاس في 17-11-2009