بسم الله، نبتدئ مع الأول،

دعك من المبتدأ الكتاب والأكل، ولنهتم بالجملة الفعلية، أكلته
فعل أكل فعل متعد، ولا بد من وجود من يقع عليه فعل الأكل، وهو هنا الهاء، فأرى أنها ضمير في محل نصب مفعول به، إلا إن كان هناك لغزا ما في الجملة.
بالإضافة إلى كون الهاء في محل نصب مفعول به، فهي عائدة على المبتدأ الأكل، بما يجعل الجملة الفعلية كلها في محل رفع خبر المبتدأ.

بالنسبة للسؤال الثاني فهو في الصرف وليس الإعراب،
القاعدة أن كل زيادة في المبنى تضفي زيادة في المعنى،
أصل الفعل المجرد الثلاثي هو جرع دون تضعيف، وهو متعد أيضا، نقول جرع فلان الدواء.
التضعيف يضفي معنى التعدية عادة، بأن يصير اللازم متعديا، أو أن يصير المتعدي متعديا إلى مفعولين أو ثلاثة، ومثله الهمز، مثل: نزل القرآن --> نزّل الله القرآن. نزلت التوراة --> أنزل الله التوراة. والفرق بين الهمز والتضعيف هو الفرق بين القطع والتدرج.

ومثله جرع فلان الدواء، نقول أجرع الطبيب المريض الدواء، أو جرّع الطبيب المريض الدواء.
في كلا الزيادتين صار الفعل المتعدي لمفعول واحد متعديا لمفعولين، لكن في الحالة الأولى كانت جرعة واحدة وانتهت، والثانية كانت جرعة بعد جرعة.

بالعودة إلى البيت، نجد أن الشاعر قد قال جرعتني علقما
والفاعل ضمير مستتر جوازا تقديره هي، دل عليه تاء التأنيث لا محل لها من الإعراب
النون للوقاية، لا محل لها من الإعراب
الياء ضمير متصل مبني في محل نصب مفعول به أول
علقما مفعول به ثان منصوب وعلامة نصبه الفتحة الظاهرة على آخره.

ملاحظة، يستتر الضمير جوازا مع هو وهي، ووجوبا مع أنت وأنا ونحن