ما ذا تعرفون عن الهندسة الكسيرية أو Fractal Geometry ؟ هل سمعتم بها من قبل ؟

أثارني هذا الموضوع و أنا أجول في عالم النت حيث أن هذا العنوان الهندسة الكسيرية لم يسبق لي أن رأيته أو درست أو حتى سمعت عن هذا العلم بالرغم من تواصلي مع الرياضيات بأكثر أنواعها


عربياً ....للأسف لم أجد الكثير ممن كتب عنها

أجنبياً وجدت الكثير لكني لم أرى من يشرحها بشكل مبسط كـ introduction أو كـ تمهيد لهذا العلم


أترككم مع ما وجدت


من ويكيبديا

تدرس الهندسة الكسيرية أو الهندسة الفركتلية Fractal Geometry البنى الهندسية المؤلفة من ( كسيريات ) و هو مجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بانه جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذو أبعاد لامتناهية بالصغر , يمكن أن يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مشابهة للجزء الأم .

الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات , و يمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي . تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية و تتميز بخاصية التشابه الذاتي أي أن مكوناتها مشابهة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير . غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات او خوارزميات متكررة : مثل العمليات التراجعية recursive أو التكرارية iterative .

مصطلح كسيرية fractal تمت صياغته من قبل بينويت ماندلبروت , من اللاتينية fractus بمعنى مكسور "broken". قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هو ندف ثلج كوخ Koch snowflake . تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات و تصف العديد من الأوضاع و البنى التي لا يمكن تفسيرها أو دراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية, إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم و التكنولوجيا و الفنون الحاسوبية .



مجموعة ماندلبروت, التي سميت على اسم مكتشفها , هي أهم مثال عن البنى الكسيرية



الكسيرية
الكسيرية أو الفركتل كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على كل المقاييس، ولهذا يبدو في جوهره وكأنه 'مكسور' . ببساطة، يمكن تعريف الفركتلات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، كل منها يبدو مماثلاً للأصل. تحتوي الفركتلات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على كل المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الفركتل من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أو تكراري. تمت صياغة مصطلح الفركتل fractal عام 1975 من قبل بينويت ماندلبروت، وذلك انطلاقاً من الكلمة اللاتينية fractus والتي 'مكسور'، قبل أن يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندف ثلج كوخ مثلاً) هو المنحني الغريب monster curve.

تمت دراسة العديد من أنواع الكسيريات (الفركتلات) على أنها كائنات رياضية ، تشكل الهندسة الفركتلية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الفركتلات، تصف الهندسة الفركتلية أيضاً الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً، إن تتبع الجذور المفاهيمية للفركتلات يقودنا إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.


تاريخ الكسيريات



إن ندفة ثلج كوخ هي اجتماع عدد لانهائي من الأشكال، حدود هذه الأشكال مثلثية، لدى إضافة مثلث ناقص الضلع في كل مرة (في تكرار ما) يتضخم محيط الشكل حتى يسعى في نهاية الأمر للانهاية عبر عدد معين من التكرارات. إن طول محيط ندفة ثلج كوخ لا نهائي في حين أن الحيز الذي تشغله هذه الندفة نهائي

إسهامات التحليل الكلاسيكي
لقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً فركتلات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسيمة عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف ليبنز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض، عام 1872، أوجد كارل فايرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصة غريبة، ذلك أنها تستمر في كل مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إن مخطط هذه الدالة يدعى حالياً فركتل، عام 1904، اختلف هيلغي فان كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذو مضمون هندسي أكثر لدالة مشابهة تدعى حالياً ندفة ثلج كوخ. إن فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه (السطوح والمنحنيات المستوية أو الفراغية التي تشكل أجزاءً مشابهة للأصل) منحنى فركتلي جديد يدعى فركتل ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف حالياً على أنها فركتلات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستويات المعقدة في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوينكاري، فيليكس كلاين، بيير فاتو و جاستن جوليا، لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك الأشخاص من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.


مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات
في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الياضيون ككونسستانتين كاراثيودوري و فيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد بحيث يتضمن قيماً غير صحيحة، كانت هذه الخطوة جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إن تعريف بعد هاوسدروف ذو طبيعة هندسية، ولو أنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.


إسهامات ماندلبروت في الستينيات
عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل (كم طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الفركتلي)، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت أنها لا مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت كلمة كسيرية او 'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق كلمة فركتل من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو 'غير نظامي'، وليس من كلمة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع العلم أن هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من كلمة fractus اللاتينية. لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت العديد من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية ، نظرية الشواش (علماً أن البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للكلمة) و التعقيد. فعلى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل فركتلي أن الحدود بين الحلول المختلفة هي ذات طبيعة فركتلية، كما أظهرت أن الحلو بحد ذاتها هي جواذب غريبة. تستخدم الهندسة الفركتلية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نمو الأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك. وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوص ، غرين و ستوكس.


البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ
إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من الخطوات L هو الجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك أن L لامتناهية في الصغر، إن هذا غير مقبول، فكما أن ندف ثلج كوخ المختلفة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هو بالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m2. وبالتالي: 4N(L/3)x = NLx ، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول الخطوة لثلاثة أمثال يتطلب أربعة أمثال عدد الخطوات، إن حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m1.26186,


تعاريف
لعل أكثر خواص الكسيريات (الفركتلات) إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إن هذا يعني أن الفركتلات تنحو باتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المختلفة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الفركتلات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعرف مجموعات كهذه تعاودياً. إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يبدو أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المستحيل التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أو خط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الفركتلات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المستحيل اعتمادها لغياب التقييس، في حين أن زيادة تكبير الفركتلات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً. مثلما تظهر العديد من الصفات المميزة الخاصة بالفركتلات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عرف ماندلبروت الفركتل على أنه "مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي". فمن أجل شكل فركتلي ذو تشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند .

من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات (الفركتلات):

لا يوجد تعريف دقيق لعبارة "شديد اللانظامية".
لا يوجد تعريف دقيق للـ "بعد".
توجد العديد من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.
ليست كل الفركتلات معرفة بشكل تعاودي.

للإطلاع على الموضوع كاملاً هنا


سأحاول في الأيام القادمة غزو هذا العلم بشكل أكبر و سأحاول أن أقوم بترجمة بعض ما سأقرأه بإذن الله هنا

أتمنى التفاعل ...

كان عندي زميل مشروع تخرجة من الجامعة هو الهندسة الكسرية هذة ..وكان دورة في المشروع هو تحويل الناتج من الدوال ..الى رسومات على منحى اعتقد ليس الديكارتي المعروف ..ممكن على منحى الدائري لا اذكر بالضبط ..ولكن حقيقة الكمبيوتر لا يعرف غير المصفوفات ..لا منحي ديكارتي ولا شي ثاني ..كان دور هو تلقيم المصوفات وتحويل الارقام الى نظام RGB واعطاء الاحداثي السيني والصادي على شاشة وتظهر رسومات مثل ما ارفقتها زميلي ..

لا اعرف وين حل به الدهر الصديقي هذا ..ولكن بحثة كان جميل بشكل ومتعب في نفس الوقت ..

ولكن على ما اذكر ان موقع معابر توجد فية مقالة مطولة عن الهندسة الكسرية ؟؟.

محارب النور

(f)

سلام وتحية للماركيز

إنني لم أتوقع أن يثار هذا الموضوع في النادي فالمهتمين بالرياضيات قلائل .
إنك قدمت صورة كافية ليأخذ القارئ فكرة عن هذه الهندسة

أنني قرأت عن الهندسة الفركتلية (الكسرانية) عدة مقالات في مجلة العلوم وبعض المجلات الأخرى .
وقد اهتممت ( كهاوي ومحب للمعرفة وليس كمختص) بالموضوع لأنني وجدت أنها يمكن أن تساعد في فهم البنيات الفيزياء الأساسية .
فالفكرة الهامة في هذه الهندسة هي : اللا تغير نتيجة التمديد (التمدد) أو التقليص (التصغير) ,و يمكن أن يساعدنا هذا فهم البنيات الفيزيائية الأولية أو الأساسية
فإذا درسنا البنيات الفيزيائية التي يتكرر وجودها أو وجود ما يشبهها في مستويات فيزيائية متعددة , يمكن أن نستنتج تصور أو تخيل البنيات الفيزيائية الأولية الأساسية التي يتكرر ظهورها في هذه المستويات , فتكرار ظهور بنيات متشابه في مستويات مختلفة دليل على أن لها أصول مشتركة واحدة .
فظاهرة الدوران أو الدوامة أو السبين يتكرر ظهورها في مستويات مختلفة , وظاهرة السالب والموجب أيضاً يتكرر ظهورها في مستويات مختلفة , وظاهرة اليمين واليسار أيضاً , وهما الكثير من الظواهر الأخرى
وكذلك اهتممت بها لعلاقتها بالمستطيل الذهبي يتكرر الذي وجوده ( أوجود خصائصه ) في عدة مستويات في الطبيعة الحية وغير الحية .

طبعاً لهذه الهندسة أسسها وخصائصها , ولها تطبيقاتها الكثيرة , فهي تستطيع التعامل مع الواقع غير المنتظم ومع العشواء (الاحتمالات والحركة البراوانية) , وتظهر الانتظام الذي يمكن التعامل معه رياضياً .
سوف أحاول الكتابة عن ما أعرفه عنها .

مع تحياتي ومودتي

تعليم الهندسة الفركتلية ( الكسرانية ) في المدارس

لقد كان كتاب اقليدس المعروف باسم " الأصول " هو الأساس في تعليم الرياضيات في المدارس الثانوية , لقد كانت الرياضيات تدرس حسب التسلسل الزمني لظهور مفاهيمها .
ثم جاءت " الرياضيات الحديثة " التي تجاهلت التاريخ بقدر تجاهل الهندسة , مطوعة التعليم للاتجاه الجبري السائد .
لكن سرعان ما تم التخلي عن هذه الفكرة وصرنا نتحسر على " الرياضيات الحديثة " أكثر مما نتحسر على " الرياضيات القديمة " .
وهكذا تولد فراغ يدور حوله السؤال التالي : ما النظام الجديد الذي يجب أن يملأ هذا الفراغ .
والبعض يرى أن تدريس الهندسة الفركتلية يمكن أن يكون له ميزاته , فخلافاً للهندسة الاقليدية لا أحد يصف الهندسة الفركتلية بأنها عسيرة وجافة , بل توصف بأنها محببة سلسة ومتكاملة
فالفركتلات تتمتع بقوة تجعلها تجذب انتباه الناس بشكل تلقائي .
ويبدو أنها تستحوذ على تفكير التلميذ الصغير وتجعله يطرح من تلقاء نفسه ألف سؤال بودنا أن يطرحها لأنها من صميم الرياضيات . يرى التلميذ أن بعض الصيغ الفركتلية تولّد جبالاً ( فركتلية ) بواقعية مدهشة , في حين تولّد صيغ أخرى مجموعة مندلبروت . إن في ذلك لسحراً .
ولا أحد بقدر على مقاومة رغبته في استكشاف هذا السحر .
ما ؟ الأعداد العقدية ( المركبة ) من أين تأتي الإشارة " ناقص " عندما نجري على هذه الأعداد عملية ضرب ؟
ما ؟ الصدفة , وكيف يمكنها أن تشكل مثيل ذلك التنوع في الأشكال ؟
فيما ؟ تشترك الجبال ( الفركتلية ) ومجموعة مندلبروت ؟
لعله من المفيد أن نتوقف لحظة للإجابة عن السؤال الأخير .
تتميز الهندسة الفركتلية بكونها بنية رياضية كبيرة , ألا وهي اللاتغير بالنسبة إلى التمدد أو التقليص .
ونحن نلاحظ أن خوارزميات الجبال الفركتلية ومجموعة مندلبروت تتلاءم مع اللعب والأحلام الخلاقة .
هناك سمة مهمة للفركتلات تتمثل في كونها تقدم الرياضيات ضمن نظرة تعددية الجوهر , وإن لهذه الرياضيات الانفرادية مكانتها المرموقة , لكن ليس في المدرسة , إذ يجب على الأخيرة أن تبدأ برياضيات متعددة الأشكال .

http://www.lactamme.polytechnique.fr/

(f)