قانون كبلر الثالث ينص على أن مربع الدور (زمن الدورة الواحدة ) متناسب مع مكعب نصف القطر الكبير للإليبس( القطع الناقص) الذي يرسمه مدار الكوكب

فهمت أن سؤالك هو ببساطة: لماذا؟ وهو سؤال أكثر من مشروع

حتى لا ندخل في تعقيدات لا طائل من ورائها سأبرهن هذا القانون بأخذ حالة خاصة من حالات القطع الناقص وهو الدائرة. حيث أن القطر الكبير للدائرة هو قطر الدائرة نفسة.

ما يسبب حركة الكوكب حول الشمس هو قوة التجاذب بينهما والتي تعطى بقانون الجاذبية العام :
[CENTER]
[/CENTER]

حيث أن:
F هي قوة التجاذب بين الجسمين
m كتلة الكوكب
M كتلة الشمس
r البعد بينهما
G ثابت التجاذب

وهذه القوة ينتج عنها تسارع يعطى بقانون نيوتن الثاني في الحركة:

[CENTER] [/CENTER]

حيث أن a هي التسارع

وهذه هي قوه مركزية إذا فلا يوجد تسارع خطي بل يوجد فقط تسارع مركزي وهو في حالة الدائرة يساوي:

[CENTER] [/CENTER]

v هي السرعة الخطية

إذن فالقوة تصبح:

[CENTER] [/CENTER]

وبما أننا بحاجة الى استنتاج علاقة الدور بنصف القطر، فنكنب السرعة على أنها محيط الدائرة على الدور (زمن الدورة الواحدة)

[CENTER] [/CENTER]

إذن فالقوة بحسب قانون نيوتن الثاني في الحركة تصبح:

[CENTER] [/CENTER]

ندخل هذه القوة في قانون الجاذبية العام:

[CENTER] [/CENTER]

بعد القيام بالإختزالات اللازمة وأخذ الدور الى طرف المعادلة:

[CENTER] [/CENTER]

وهو ما كنا نبحث عنه.

حتى نفهم المسألة بشكل أعمق يجب أن نتمعن مرة أخرى في قانون نيوتن الثاني
:what:

[CENTER] [/CENTER]

[CENTER] [/CENTER]

فقوة التجاذب مرتبطة بمربع نصف القطر حيث تتناسب عكساً معه. و التسارع أيضاُ مرتبط بنصف القطرحيث يتناسب طرداً معه. أما الدور فهو مرتبط بالتسارع فقط حيث أن التسارع يتناسب عكساً مع مربع الدور. فنصف القطر هو العامل الأكثر أهمية هنا.

:)